Este libro pretende ser una introducción accesible al estudio de las variedades diferenciables. Está basado en cursos que llevamos impartiendo durante muchos años en la Facultad de Ciencias Matemáticas de la Universidad Complutense de Madrid. Una primera versión se publicó en 1999, y ha sido utilizada desde entonces de manera regular en la docencia de las materias que cubre. Aprovechando esa experiencia aquel primer texto ha sido objeto de ediciones sucesivas hasta llegar a esta quinta veintitrés años después. A este respecto, hay que destacar y agradecer la disponibilidad de Sanz y Torres para hacer esas ediciones con las mejoras que consideramos necesarias. Tales mejoras tienen ?nalidades muy concretas: (i) uni?cación de notaciones y terminología; (ii) simpli?cación y clari?cación de enunciados y demostraciones, (iii) inclusión de ejemplos adicionales con cálculos explícitos ilustrativos, (iv) mayor adecuación de las series de problemas de cada sección, (v) confección de una colección de cuestiones para evaluación rápida de las nociones básicas, y (vi) organización de un índice y un glosario su?cientemente detallados. De naturaleza menos sistemática son las ampliaciones de contenido teórico, como añadir el teorema de la ?bración de Ehresmann, o el recíproco del teorema de Stokes en cohomología de de Rham para de?nir el grado de Brouwer-Kronecker y formular el teorema de Gauss-Bonnet. Estas modi?caciones afectan a prácticamente cada página del texto, pero no alteran el objetivo primordial de la primera edición, que es servir a los lectores el contenido básico clásico: (1) Variedades y aplicaciones diferenciables. (2) Campos tangentes y ?ujos. (3) Formas diferenciales. (4) Integración y volumen. En realidad, este programa podría titularse al modo tradicional Cálculo en Variedades. Para cubrirlo de modo realista, la exposición está simpli?cada al máximo, intentando combinar el rigor con la ligereza de formalismo. Con ese mismo espíritu, se elige una presentación que pueda estudiarse linealmente, omi¬tiéndose si se quiere algunas demostraciones o secciones para las que las circuns¬tancias no dejen tiempo, sin perturbar la comprensión del conjunto. De hecho, muchas cosas se muestran con ejemplos adecuados, en lugar de con comentarios teóricos generales. En consonancia con este enfoque, hemos confeccionado una colección de 300 problemas y 60 cuestiones que esperamos ayuden a asimilar las nociones teóricas. Algunos problemas más difíciles o más signi?cativos se marcan con un rayo o dos excepcionalmente. El prerrequisito que el lector más necesita es el cálculo diferencial en espacios a?nes. Por supuesto, las nociones básicas de topologíoa están incluidas en eso, así como la integral (de Riemann, no más). En cuanto a ecuaciones diferenciales, lo que se precisa es sólo el concepto, bien asequible, y una aplicación directa del teorema de Picard. Por supuesto, la mayoría de los lectores abordarán esta materia después de un curso elemental de curvas y super?cies, lo que será una ventaja adicional para asimilarla. ??? Este texto sigue a muchos otros que se han escrito antes, en los que hemos aprendido lo que aquí exponemos a nuestra manera. Se los agradecemos a sus autores, desde el maravilloso librito amarillo de Michael Spivak en el que hace cuarenta años estudiamos por primera vez Cálculo en variedades, hasta el muy reciente libro de Bjørn I. Dundas, del que utilizamos alguna idea muy bella que no conocíamos antes. También queremos expresar nuestro agradecimiento a Luis J. Alías, Miguel A. Amores, Jacek Bochnak, Antonio Costa, Leonardo Fernández, José F. Fernando, Javier Lafuente, Celia Martínez, Enrique Outerelo, José Manuel Rodríguez Sanjurjo y Antonio Valdés, compañeros que nos han ayudado de diferentes maneras. Y no menos importante, agradecemos a nuestros alumnos su participación en nuestras clases, que hace cada día más estimulante la labor docente. J.M. Gamboa, J.M. Rui
